题目

甲、乙两企业去年末都有利润积累，甲企业利润为300万元，甲企业认为：企业要可持续发展，必须进行自主创新和技术改造，由于投资更新等原因，甲企业的利润积累y甲（万元）与时间x（年）之间的函数图象呈抛物线（如图）乙企业的利润积累y乙（万元）每年增加50万元，预计第一年末（今年末）利润积累150万元．（1）乙企业去年末的利润积累是多少万元，乙企业利润积累y乙（万元）与时间x（年）之间的函数关系式为（不必写出自变量x的取值范围）．（2）到第几年末，甲企业的利润积累重新达到去年末与乙企业利润积累的倍数关系？（3）改造初期，甲企业的利润积累逐渐减少，甚至会低于乙企业的利润积累．随着甲企业进入改造成长期，甲企业的利润积累重新高于乙企业的利润积累，试问第几年（保留整数位．参考数据：≈3.6）甲企业开始进入改造成长期？5年后（含5年）甲企业进入改造成熟期，效益将显现出来．改造成熟期，甲企业的利润积累最少会高于乙企业的利润积累多少万元？ 答案：解：（1）∵乙企业的利润积累y乙（万元）每年增加50万元，预计第一年末（今年末）利润积累150万元．∴乙企业去年末的利润积累是100万元，∴乙企业利润积累y乙与时间x之间函数关系为：y乙=100+50x；故答案为：100，y乙=100+50x；（2）依据题意，设甲企业的利润积累y甲与时间x之间的解析式为：y甲=a（x﹣1）（x﹣2），∵y甲=300时，x=0，∴a=150，∴y甲=150（x﹣1）（x﹣2）=150x2﹣450x+300，依据题意得：y甲=3y乙，∴150x2﹣450x+300=3（100+50x），解得：x1=0（改造初期舍去），x2=4，答：到第4年末，甲企业的利润积累重新达到去年末与乙企业利润积累的倍数关系；（3）甲企业刚好进入改造成长期时：y甲=y乙，∴150x2﹣450x+300=100+50x，解得：x=5±133，∴x1=0（改造初期舍去），x2≈3，∴第3年甲企业进入改造成长期，设改造成熟期，甲企业的利润积累与乙企业的利润积累的差为W万元，依据题意得出：W=y甲﹣y乙=150x2﹣450x+300﹣（100+50x）=150x2﹣500x+200，根据函数性质分析，当x＞53，W随x的增大而增大，∵x≥5，∴x=5时，W取得最小值为1450，∴改造成熟期，甲企业的利润积累最少会高于乙企业的利润积累1450万元．

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