题目

如图，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，M为PA的中点. （Ⅰ）求证：PC∥平面BDM； （Ⅱ）若PA＝AC＝，BD＝，求直线BM与平面PAC所成的角.   答案：（Ⅰ）证明略（Ⅱ）60° 解析:（Ⅰ）设AC与BD的交点为O，连结OM.因为ABCD是菱形，则O为AC中点. 又M为PA的中点，所以OM∥PC.                                             （3分） 因为OM在平面BDM内，所以PC∥平面BDM.                                （4分） （Ⅱ）因为ABCD是菱形，则BD⊥AC. 又PA⊥平面ABCD，则PA⊥BD. 所以BD⊥平面PAC. 所以∠BMO是直线BM与平面PAC所成的角.                                     （7分） 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC. 在Rt△PAC中，因为PA＝AC＝，则PC＝2. 又点M与点O分别是PA与AC的中点，则MO＝PC＝1.                        （9分） 又BO＝BD＝，在Rt△BOM中，tan∠BMO＝，所以∠BMO＝60°. 故直线BM与平面PAC所成的角是60°.                                       （12分）

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