题目

已知，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．请分别解决下面四种情况： （1） 如图1，设点P的运动时间为t(s)，那么t=s时，△PBC是直角三角形； （2） 如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm／s的速度同时出发，设运动时间为t(s)，那么t为何值时，△PBQ是直角三角形? （3） 如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D，如果动点P、Q都以1cm／s的速度同时出发，设运动时间为t(s)，那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形? （4） 如图4，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，连接PQ交AC于D，连接PC，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系?并说明理由． 答案： 【1】1.5 解：∵∠B=60°，∴当∠PQB为直角时，PB=2QB，则AB-AP=2BQ，3-t=2t，解得t=1，当∠BPQ为直角时，BQ=2PB，则BQ=2(AB-AP)即t=2(3-t)，解得x=2.∴当t 为 2s 或 1s 时，△PBQ 为直角三角形. 解：当△DCQ为等腰三角形时，∵∠DCQ=120°，∴CD=CQ，∴∠CQD=12∠ACB=30°，∴∠BPQ=90°，∴BQ=2BP，∴3+t=2(3-t)，解得t=1. 解：如图，过P作PE∥BC，∵△ABC为等边三角形，∴△APE为等边三角形，∴PE=AP=t，∵CQ=t，∴PE=CQ，∴四边形PCQE是平行四边形，∴PD=QD，∵△PCD和△QCD等底同高，∴ S△PCD=S△QCD .

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