题目

已知函数 ，其中常数 . （1） 当 时，求函数 的单调递增区间； （2） 当 时，若函数 有三个不同的零点，求 的取值范围； （3） 设定义在 上的函数 在点 处的切线方程为 ，当 时，若 在 内恒成立，则称 为函数 的“类对称点”，请你探究当 时，函数 是否存在“类对称点”，若存在，请最少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由. 答案： 解：由 f(x)=x2−(a+2)x+alnx 可知，函数的定义域为 {x|x>0} ，且 f′(x)=2x−(a+2)+ax=2x2−(a+2)x+ax=(2x−a)(x−1)x .因为 a>2 ，所以 a2>1 .当 0<x<1 或 x>a2 时， f′(x)>0 ；当 1<x<a2 时， f′(x)<0 ，所以 f(x) 的单调递增区间为 (0,1),(a2,+∞) 解：当 a=4 时， f′(x)=2(x−1)(x−2)x .所以，当 变化时， f′(x) ， f(x) 的变化情况如下：x（0,1）1（1,2）2（2， +∞ ）f(x)+0—0+f(x)单调递增f(x) 取极大值单调递减f(x) 取极小值单调递增所以 f(x)极大值=f(1)=12−6×1+4ln1=−5 ，f(x)极小值=f(2)=22−6×2+4ln2=4ln2−8 .函数 f(x) 的图象大致如下：所以若函数 y=f(x)−m 有三个不同的零点， m∈(4ln2−8,−5) 解：由题意,当 a=4 时， f′(x)=2x+4x−6 ，则在点P处切线的斜率 k切=f(x0)=2x0+4x0−6 ；所以 y=g(x)=(2x0+4x0−6)(x−x0)+x02−6x0+4lnx0=(2x0+4x0−6)x−x02+4lnx0−4 .令 φ(x)=f(x)−g(x)=x2−6x+4lnx−(2x0+4x0−6)(x−x0)−(x02−6x0+4lnx0) ，则 φ(x0)=0 ， φ′(x)=2x+4x−6−(2x0+4x0−6)=2(x−x0)(1−2x0x)=2x0(x−x0)(x0−2x) .当 x0<2 时， φ(x) 在 (x0,2x0) 上单调递减，所以当 x∈(x0,2x0) 时， φ(x)<φ(x0)=0. 从而有 x∈(x0,2x0) 时， φ(x)x−x0<0 ；当 x0>2 时， φ(x) 在 (2x0,x0) 上单调递减，所以当 x∈(2x0,x0) 时， φ(x)>φ(x0)=0. 从而有 x∈(2x0,x0) 时， φ(x)x−x0<0 ；所以在 (0,2)∪(2,+∞) 上不存在“类对称点”.当 x0=2 时， φ′(x)=2x(x−2)2 ，所以 φ(x) 在 (0,+∞) 上是增函数，故 φ(x)x−x0>0.所以 x=2 是一个类对称点的横坐标

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