题目

中， ， 是直角三角形， ， ．连接 ， ，点F是 的中点，连接 ． （1） 当 时， ①如图a，当点D在边 上时，请直接写出 与 的数量关系是  ▲  ， 线段 与线段 的数量关系是  ▲  ； ②如图b，当点D在边 上时，①中线段 与线段 的数量关系是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （2） 如图c，当 时，当点D在边 上时，直接写出线段 与线段 的数量关系． 答案： ① ∠EAB=∠ABC ， CF=12BE ； ②成立 取 AB 的中点M，连接 CM ，延长 CM 交 BE 于点N．如图2， ∵ ∠ACB=90° ， CA=CB ， AM=BM ∴ CM⊥AB ， CM=BM=AM ∵ ∠DAE=90° ∴ ∠DAE=∠AMC=90° ∴ CN//AE ∴N是 BE 中点 ∴ MN 是 △ABE 中位线 设 AD=AE=m ， AM=BM=CM=n ，则 BD=2n−m ∵F是 BD 中点 ∴ BF=DF=n−12m ∴ MF=BM−BF=12m ∵ MN=12AE=12m ∴ MN=FM ∴ ∠CMF=∠BMN=90° ∴ △CMF≌△BMN(SAS) ∴ CF=BN ∵ BE=2BN ∴ CF=12BE ． 解：过点C作CT⊥AB于点T，连接FT，如图3， ∴ tanα=CTAT ∵ ∠CAB=α°(0°<α<90°) ， ∠DAE=90° ∴ ∠ADE=90°−α ∵ AC=BC,CT⊥AB ∴ AT=BT ∵点F是 BD 的中点， ∴ DF=BF ∴ TF//AD ∴ ∠FTB=∠DAB=α ∴ ∠CTF=∠ADE=∠BAE=90°−α ∴ ∠AED=α ∴ ADAE=tanα 又 CTAT=tanα ∴ ADAE=CTAT ，即 AEAD=ATCT ∴ AE2FT=ATCT ∴ AEFT=ABCT=2tanα ∴ △BAE∽△CTF ∴ BECF=BACT=2tanα ∴ BE=2tanαCF

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