题目

如图①.已知，点B为平面内一点，于点B，过点B作于点D，设. （1）若，求的度数；（2）如图②，若点E、F在上，连接、、，使得平分、平分，求的度数；（3）如图③，在（2）问的条件下，若平分，且，求的度数. 答案：解：延长DB，交NC于点H，如图，∵AM//CN，BD⊥AM，∴DH⊥NC.∴∠BHC=90°.∵∠BCN=α=30°，∴∠HBC=90°−∠BCN=60°.∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°.∴∠ABD=180°−∠ABC−∠HBC=30°；解：延长DB，交NC于点H，如图，∵AM//CN，BD⊥AM，∴DH⊥NC.∴∠BHC=90°.∵∠BCN=α，∴∠HBC=90°−α.∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°.∴∠ABD=180°−∠ABC−∠HBC=α.∵BE平分∠ABD，∴∠DBE=∠ABE=12α.∵∠HBC=90°−α，∴∠DBC=180°−∠HBC=90°+α.∵BF平分∠DBC，∴∠DBF=∠CBF=12∠DBC=45°+12α.∴∠EBF=∠DBF−∠DBE=45°+12α−12α=45°；解：∵∠BCN=α，∴∠HCB=180°−∠BCN=180°−α.∵CF平分∠BCH，∴∠BCF=∠HCF=12∠HCB=90°−12α.∵AM//CN，∴∠DFC=∠HCF=90°−12α.∵∠BFC=3∠BCN，∴∠BFC=3α.∴∠DFB=∠DFC−∠BFC=90°−72α.由（2）知：∠DBF=45°+12α.∵BD⊥AM，∴∠D=90°.∴∠DBF+∠DFB=90°.∴45°+12α+90°−72α=90°.解得：α=15°.∴∠FBC=∠DBF=45°+α=52.5°.∴∠EBC=∠FBC+∠EBF=52.5°+45°=97.5°.

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