题目

已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．（12分） （1） 讨论f（x）的单调性； （2） 当a＜0时，证明f（x）≤﹣ ﹣2． 答案： 解：因为f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x，求导f′（x）= 1x +2ax+（2a+1）= 2ax2+(2a+1)x+1x = (2ax+1)(x+1)x ，（x＞0），①当a=0时，f′（x）= 1x +1＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当a＞0，由于x＞0，所以（2ax+1）（x+1）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增；③当a＜0时，令f′（x）=0，解得：x=﹣ 12a ．因为当x∈（0，﹣ 12a ）时，f′（x）＞0、当x∈（﹣ 12a ，+∞）时，f′（x）＜0，所以y=f（x）在（0，﹣ 12a ）上单调递增、在（﹣ 12a ，+∞）上单调递减．综上可知：当a≥0时f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＜0时，f（x）在（0，﹣ 12a ）上单调递增、在（﹣ 12a ，+∞）上单调递减； 证明：由（1）可知：当a＜0时f（x）在（0，﹣ 12a ）上单调递增、在（﹣ 12a ，+∞）上单调递减，所以当x=﹣ 12a 时函数y=f（x）取最大值f（x）max=f（﹣ 12a ）=﹣1﹣ln2﹣ 14a +ln（﹣ 1a ）．从而要证f（x）≤﹣ 34a ﹣2，即证f（﹣ 12a ）≤﹣ 34a ﹣2，即证﹣1﹣ln2﹣ 14a +ln（﹣ 1a ）≤﹣ 34a ﹣2，即证﹣ 12 （﹣ 1a ）+ln（﹣ 1a ）≤﹣1+ln2．令t=﹣ 1a ，则t＞0，问题转化为证明：﹣ 12 t+lnt≤﹣1+ln2．…（*）令g（t）=﹣ 12 t+lnt，则g′（t）=﹣ 12 + 1t ，令g′（t）=0可知t=2，则当0＜t＜2时g′（t）＞0，当t＞2时g′（t）＜0，所以y=g（t）在（0，2）上单调递增、在（2，+∞）上单调递减，即g（t）≤g（2）=﹣ 12 ×2+ln2=﹣1+ln2，即（*）式成立，所以当a＜0时，f（x）≤﹣ 34a ﹣2成立．

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