题目

已知数列 的前 项和为 ，首项 ， . （1） 求数列 的通项公式； （2） 设 ，记数列 的前 项和为 ，是否存在正整数 ，使得 ?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 答案： 解：由 Sn+1=2Sn+1 ①,知 n≥2 时， Sn=2Sn−1+1 ②, ① − ②得 an+1=2an(n≥2) ， 在①式中令 n=1⇒a1+a2=2a1+1⇒a2=2 ， a2a1=2 ， ∴对任意 n∈N* ，均有 an+1an=2 ，∴ {an} 为等比数列， an=1×2n−1=2n−1 ， 解：由（1）得 bn=n⋅2n−1 ， 所以 Tn=1⋅20+2⋅21+3⋅22+⋯+(n−1)⋅2n−2+n⋅2n−1 ， 所以 2Tn=1⋅21+2⋅22+⋯+(n−2)⋅2n−2+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n ， 所以 −Tn=1+21+22+⋯+2n−1−n⋅2n=1⋅(1−2n)1−2−n⋅2n=2n−1−n⋅2n ， 所以 Tn=(n−1)⋅2n+1 ， 令 (n−1)⋅2n+1=2021⇒(n−1)⋅2n=2020 ， 当 n=1 和 n=2 时，等式显然不成立；当 n≥3 时，方程化为 (n−1)⋅2n−2=505 ，左边为偶数，右边等于505为奇数，等式也不成立，故不存在正整数 n ，使得 Tn=2021 成立.

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