题目

如图，已知椭圆O： +y2=1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y=﹣2上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M． （1） 当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积； （2） ①记直线BM，BP的斜率分别为k1 ， k2 ， 求证：k1•k2为定值； ②求 的取值范围． 答案： 解：由椭圆的方程 x24 +y2=1，可得a=2，b=1，c= 3 ， 即有B（0，1），C（0，﹣1），F（ 3 ，0），直线PM： x3 + y−1 =1，即为y= 33 x﹣1，代入椭圆方程可得，M（ 837 ， 17 ），连接BF，可得BF： x3 +y=1，即为x+ 3 y﹣ 3 =0，而BF=a=2，M到直线BF的距离为d= |837+37−3|1+3 = 37 ，即有S△MBF= 12 BF•d= 12 •2• 37 = 37 解：①设P（m，﹣2）（m≠0），kPM= −1−(−2)0−m =﹣ 1m ， PM：y=﹣ 1m x﹣1，代入椭圆方程可得（4+m2）x2+8mx=0，解得M（﹣ 8m4+m2 ， 4−m24+m2 ），k1= 4−m24+m2−1−8m4+m2 = 14 m，k2= −1−(−2)0−m =﹣ 3m ，则k1k2= 14 m•（﹣ 3m ）=﹣ 34 为定值；②由①知， PB→ =（﹣m，3）， PM→ =（﹣ 8m4+m2 ﹣m， 4−m24+m2 +2）=（﹣ m3−124+m2 ， m2+124+m2 ）， PB→⋅PM→ =﹣m•（﹣ m3−124+m2 ）+3• m2+124+m2 = m4+15m2+364+m2 ，令t=4+m2＞4，即有 PB→⋅PM→ = (t−4)2+15(t−4)+36t =t﹣ 8t +7，由y=t﹣ 8t +7在（4，+∞）单调递增，则 PB→⋅PM→ =t﹣ 8t +7＞4﹣ 84 +7=9，故 PB→⋅PM→ 的取值范围为（9，+∞）

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