题目

已知椭圆 的离心率为 ，其右顶点为 ，下顶点为 ，定点 ， 的面积为 ，过点 作与 轴不重合的直线 交椭圆 于 两点，直线 分别与 轴交于 两点. （1） 求椭圆 的方程； （2） 试探究 的横坐标的乘积是否为定值，说明理由. 答案： 解：由已知， A,B 的坐标分别是 A(a,0),B(0,−b) 由于 ΔABC 的面积为 3 ， ∴12(2+b)a=3 ，又由 e=32 得 a=2b ， 解得： b=1 ，或 b=−3 （舍去）， ∴a=2,b=1 ∴ 椭圆方程为 x24+y2=1 ； 解：设直线 PQ 的方程为 y=kx+2 ， P,Q 的坐标分别为 P(x1,y1),Q(x2,y2) 则直线 BP 的方程为 y=y1+1x1x−1 ，令 y=0 ，得点 M 的横坐标 xM=x1y1+1 直线 BQ 的方程为 y=y2+1x2x−1 ，令 y=0 ，得点 N 的横坐标 xN=x2y2+1 ∴xM⋅xN=x1x2(y1+1)(y2+1) =x1x2(kx1+3)(kx2+3) =x1x2k2x1x2+3k(x1+x2)+9 把直线 y=kx+2 代入椭圆 x24+y2=1 得 (1+4k2)x2+16kx+12=0 由韦达定理得 x1x2=121+4k2 , x1+x2=−16k1+4k2 ∴ xMxN=121+4k212k21+4k2−48k21+4k2+9= 1212k2−48k2+9+36k2=43 ，是定值．

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