题目

函数f（x）=k•a﹣x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8）． （1） 求函数f（x）的解析式； （2） 若函数g（x）= 是奇函数，求b的值； （3） 在（2）的条件下判断函数g（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论． 答案： 解：∵函数f（x）=k•a﹣x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8）， ∴ {k=1ka−3=8 ，解得 {k=1a=12 ，∴ f(x)=(12)−x=2x ， 解：由（1）知 g(x)=2x+b2x−1 ，∵函数 g(x)=2x+b2x−1 为奇函数， ∴g（﹣x）=﹣g（x）即 2−x+b2−x−1=−2x+b2x−1 ，∴ b2x+11−2x=2x+b1−2x ∴b=1． 解：由（2）知 g(x)=2x+b2x−1=1+22x−1 ，∴g（x）在（0，+∞）为减函数， 证明：任取x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则 g(x1)−g(x2)=1+22x1−1−(1+22x2) = 22x1−1−22x2−1=2(2x2−2x1)(2x1−1)(2x2−1) ，∵0＜x1＜x2，∴ 2x1<2x2,2x1>1,2x2>1 ，∴ 2x2−2x1>0,2x1−1>0,2x2-1>0 ，即g（x1）﹣g（x2）＞0，∴g（x1）＞g（x2）∴g（x）在（0，+∞）为减函数

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