题目

如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过C作CD//AB，CD交⊙O于D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF. （1） 求证：AF是⊙O的切线； （2） 求证：AB2﹣BE2＝BE•EC； （3） 如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝64，求BG的长. 答案： 证明：如图1，连接OA， ∵AB=AC， ∴ AB⌢=AC⌢ ，∠ACB=∠B， ∴OA⊥BC， ∵CA=CF， ∴∠CAF=∠CFA， ∵CD∥AB， ∴∠BCD=∠B， ∴∠ACB=∠BCD， ∴∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF， ∵∠ACB=∠BCD， ∴∠ACD=2∠ACB， ∴∠CAF=∠ACB， ∴AF∥BC， ∴OA⊥AF， ∴AF为⊙O的切线； 证明：∵∠BAD=∠BCD=∠ACB，∠B=∠B， ∴△ABE∽△CBA， ∴ ABBC=BEAB ， ∴AB2=BC•BE=BE（BE+CE）=BE2+BE•CE， ∴AB2-BE2=BE•EC； 解：由（2）知：AB2=BC•BE， ∵BC•BE=64， ∴AB=8， 如图2，连接AG， ∴∠BAG=∠BAD+∠DAG，∠BGA=∠GAC+∠ACB， ∵点G为内心， ∴∠DAG=∠GAC， 又∵∠BAD+∠DAG=∠GAC+∠ACB，∠BAD=∠ACB， ∴∠BAG=∠BGA， ∴BG=AB=8.

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