题目

已知双曲线M： =1（a＞0，b＞0）的上焦点为F，上顶点为A，B为虚轴的端点，离心率e= ，且S△ABF=1﹣ ．抛物线N的顶点在坐标原点，焦点为F． （1） 求双曲线M和抛物线N的方程； （2） 设动直线l与抛物线N相切于点P，与抛物线的准线相交于点Q，则以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点？如果经过，试求出该点的坐标，如果不经过，试说明理由． 答案： 解：由双曲线M： y2a2−x2b2 =1（a＞0，b＞0）的离心率e= ca = 233 ，①三角形的面积S= 12 （c﹣a）b=1﹣ 32 ，②由c2=a2+b2，③解得：a= 3 ，b=1，c=2，∴双曲线的标准方程： y23−x2=1 ，则双曲线的上焦点F（0，2），则抛物线N的方程：x2=8y； 解：由（1）可得抛物线N的方程：x2=8y，准线方程y=﹣2，由y= 18 x2，y′= 14 x，设P（x0， 18 x02），则直线l的方程y﹣ 18 x02= 14 x0（x﹣x0），即y= 14 x0x﹣ 18 x02，联立y=﹣2，则Q（ x02−162x0 ，﹣2），假设存在定点M（0，m）满足假设条件，则 MP→ • MQ→ =0，对任意点恒成立，则 MP→ =（x0， 18 x02﹣m）， MQ→ =（ x02−162x0 ，﹣2﹣m），∴ x02−162 ﹣（m+2）（ 18 x02﹣m）=0，即 2−m8 x02+m（m+2）﹣8=0，对任意实数x0（x0≠0）恒成立，{2−m=0m(m+2)−8=0 ，解得：m=2，∴以PQ为直径的圆经过y轴上的定点M（0，2）．

查看本题答案和解析