题目

已知函数，.（1）若函数在处的切线与直线平行，求实数的值；（2）试讨论函数在区间上最大值；（3）若时，函数恰有两个零点，求证：. 答案：【答案】(1);(2) 当时,,当时，;(3)见解析.【解析】试题分析：(1)求函数的导数，由求之即可；(2) ，分当与分别讨论函数的单调性，求其最值即可；(3)由可得，即，设，则，即，故，用作差比较法证明即可.试题解析： （1）由，，由于函数在处的切线与直线平行，故，解得.（2），由时，；时，，所以①当时，在上单调递减，故在上的最大值为；②当，在上单调递增，在上单调递减，故在上的最大值为；（3）若时，恰有两个零点，由，，得，∴，设，，，故，∴，记函数，因，∴在递增，∵，∴，又，，故成立.

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