题目

设 是不小于2的互异正整数，满足 .问：是否存在正整数n，使得当n分别除以 ， 这22个数时所得到的余数的和等于2012？ 答案：解：不存在。 假设存在那样的n. 注意到，一个正整数除以m时余数的最大可能值是m-1。故除以 时所得余数的和不超过407-11=396。除以 所得余数的和不超过4×407-11=1617。如果所有的余数都取最大可能值，则余数的和应为396+1617=2013。 由条件，知这个和等于2012，故除了一个以外，所有余数取最大可能值，另一个取最大可能值减1，这表明，存在一个k使得n除以 时，一个余数取最大值，一个取最大值减1，由此推出 ，中的一个是 的倍数。另一个是 的倍数。 故 ，这与条件 矛盾

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