题目

对于数列 ，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称 为 数列. （1） 若数列1，2， ，8是 数列，求实数 的取值范围； （2） 设数列 ， ， ， ， 是首项为 、公差为 的等差数列，若该数列是 数列，求 的取值范围； （3） 设无穷数列 是首项为 、公比为 的等比数列，有穷数列 、 是从 中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别记为 、 ，求证：当 且 时，数列 不是 数列. 答案： 解：由题意得 {x>1+28>1+2+x ，所以 3<x<5 ； 实数 x 的取值范围是 3<x<5 . 解：由题意得，该数列的前 n 项和为 Sn=−n+n(n−1)2d,an+1=−1+nd ， 由数列 a1,a2,a3,⋯,a10 是 P 数列，得 a2>S1=a1 ，故公差 d>0 ， Sn−an+1=d2n2−(1+32d)n+1<0 对满足 n=1,2,3⋯,9 的所有 n 都成立， 则 d2⋅92−9(1+32d)+1<0 ，解得 d<827 ，所以 d 的取值范围是 (0,827) ； 解：若 {an} 是 P 数列，则 a=S1<a2=aq ， 因为 a>0 ，所以 q>1 ，又由 an+1>Sn 对所有 n 都成立，得 aqn>a⋅qn−1q−1 恒成立， 即 2−q<(1q)n 恒成立，因为 (1q)n>0, limn→∞(1q)n=0 ，故 2−q≤0 ，所以 q≥2 ， 若 {bn} 中的每一项都在 {cn} 中，则由这两数列是不同数列可知 T1<T2 ， 若 {cn} 中的每一项都在 {bn} 中，同理可得 T1>T2 ， 若 {bn} 中至少有一项不在 {cn} 中，且 {cn} 中至少有一项不在 {bn} 中， 设 {b′n},{c′n} 是将 {bn},{cn} 中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列， 它们的所有项之和分别为 T1′,T2′ ，不妨设 {b′n},{c′n} 中的最大项在 {b′n} 中，设为 am(m≥2) ，则 T′2≤a1+a2+⋯+am−1<am≤T′1 ，故总有 T′2≠T′1 与 T′2=T′1 矛盾， 故假设错误，原命题正确.

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