题目

如图四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2 ，BC=4 ，PA=2，点M在线段PD上． （1） 求证：AB⊥PC． （2） 若二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，求BM与平面PAC所成的角的正弦值． 答案： 证明：设E为BC的中点，连接AE，则AD=EC，AD∥EC， ∴四边形AECD为平行四边形，∴AE⊥BC∵AE=BE=EC=2 2 ，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴AB⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥PA∵AC∩PA=A，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PC 解：设AC∩BD=O，连接OP，过点M作MN⊥AD，过点N作NG⊥AC于G，连接MG，则MN∥PA， 由PA⊥平面ABCD，可得MN⊥平面ABCD，∴MN⊥AC，∵NG⊥AC，MN∩NG=N，∴AC⊥平面MNG，∴AC⊥MG，∴∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角，即∠MGN=45°设MN=x，则NG=AG=x，∴AN=ND= 2 x，可得M为PD的中点，连接PO交BM于H，连接AH，由（1）AB⊥平面PAC，∴∠BHA是BM与平面PAC所成的角在△ABM中，AB=4，AM= 12 PD= 3 ，BM=3 3 ，∴cos∠ABM= 539 ，∵∠BHA与∠ABM互余，∴BM与平面PAC所成的角的正弦值为 539 ．

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