题目

阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效. 将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如： ，这样，分式就拆分成一个分式 与一个整式 的和的形式. 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1） 若x为整数， 为负整数，可求得 x最大值= ； （2） 利用分离常数法，求分式 的取值范围； （3） 若分式 拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为： （整式部分对应等于 ，真分式部分对应等于 ）. ①用含x的式子表示出mn； ②随着x的变化， 有无最小值？如有，最小值为多少？ 答案： 【1】-5 解： 2x2+5x2+1=(2x2+1)+3x2+1=2+3x2+1 ， ∵ x2+1≥1 ， ∴ 0<3x2+1≤3 ， ∴ 2<2x2+5x2+1≤5 ； 解：∵ 5x2+9x−3x+2=5x(x+2)−(x+2)−1x+2=5x−1−1x+2 ， 而分式 5x2+9x−3x+2 拆分成一个整式与一个真分式 （分子为整数）的和（差）的形式为： 5m−11+1n−6 ， ∴ 5x−1=5m−11 ， n−6=−(x+2) ， ∴ m=x+2 ， n=−x+4 ， ① mn=(x+2)(−x+4)=−x2+2x+8 ， ②∵ m+n=6 ， mn=(x+2)(−x+4)=−x2+2x+8 ， 而 m2+n2+mn=(m+n)2−mn=36−(−x2+2x+8) =x2−2x+28=(x−1)2+27 ， ∵ (x−1)2≥0 ， ∴ (x−1)2+27≥27 ， ∴当 x=1 时， m2+n2+mn 的最小值是27.

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