题目

某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度），设该蓄水池的底面半径为x米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 元（ 为圆周率）. （1） 将V表示成r的函数 ，并求该函数的定义域； （2） 讨论函数 的单调性，并确定x和h为何值时该蓄水池的体积最大. 答案： 解： ∵ 蓄水池的侧面的总成本为 100×2πrh=200πrh 元，底面的总成本为 160πr2 元， ∴ 蓄水池的总成本为 (200πrh+160πr2) 元. 由题意得 200πrh+160πr2=12000π ， ∴h=15r(300−4r2) . 从而 V(r)=πr2h=π5(300r−4r3) . 由 h>0 ，且 r>0 ，可得 0<r<53 .故函数 V(r) 的定义域为 (0，53) . 解：由（1）知 V(r)=π5(300r−4r3) ，故 V′(r)=π5(300−12r2) ，T 令 V′(r)=0 ，解得 r1=5 ， r2=−5 （ ∵r2=−5 不在定义域内，舍去）. 当 r∈(0，5) 时， V′(r)>0 ，故 V(r) 在 (0，5) 上为增函数； 在 r∈(5，53) 时， V′(r)<0 ，故 V(r) 在 (5，53) 上为减函数. 由此可知， V(r) 在 r=5 处取得最大值，此时 h=8 ， 即当 r=5 ， h=8 时，该蓄水池的体积最大.

查看本题答案和解析