题目

设 （1） 若 ，求 在区间[0，3]上的最大值； （2） 若 ，写出 的单调区间； （3） 若存在 ，使得方程 有三个不相等的实数解，求 的取值范围. 答案： 解：当 a=2 时， f(x)=x|x−2|+2x={−x2+4x，x<2x2，x≥2  ，∴f(x) 在 R 上为增函数，∴f(x) 在[0，3]上为增函数，则 f(x)max=f(3)=9 . 解： f(x)={−x2+(2+a)x，x<ax2+(2−a)x，x≥a  ，∵a>2 ，∴0<a−2<a<a+2 ，当 x≥a 时， a>a−22 ，∴f(x) 在 (a，+∞) 为增函数，当 x<a 时， a+22−a=2−a2<0 ，即 a+22<a ，∴f(x) 在 (−∞，a+22) 为增函数，在 (a+22，a) 为减函数，则 f(x) 的单调增区间为 (−∞，a+22) 和 (a，+∞)单调减区间 (a+22，a) 解：由(2)可知，当 −2≤a≤2 时， f(x) 为增函数，方程不可能有三个不相等实数根，∵当 2<a≤4 时，由(2)得 f(a)<tf(a)<f(a+22) ，∴2a<2at<(a+2)24 ，即 1<t<(a+2)28a 在(2，4]有解，∵由 (a+2)28a=a8+12a+12 在(2，4]上为增函数，∴当 a=4 时， (a+2)28a 的最大值为 98则 1<t<98 .

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