题目

已知 ， 是函数的两个极值点. （1） 求的解析式； （2） 记 ， ， 若函数有三个零点，求的取值范围. 答案： 解：因为f(x)=−x33+ax2+bx+1，所以f′(x)=−x2+2ax+b根据极值点定义，方程f′(x)=0的两个根即为x=−1，x=2，∵f′(x)=−x2+2ax+b，代入x=−1，x=2，可得{−1−2a+b=0−4+4a+b=0，解之可得，{a=12b=2，故有f(x)=−13x3+12x2+2x+1； 解：根据题意，g(x)=−13x3+12x2+2x+1−m，x∈[−2，4]，根据题意，可得方程m=−13x3+12x2+2x+1在区间[−2，4]内有三个实数根，即函数f(x)=−13x3+12x2+2x+1与直线y=m在区间[−2，4]内有三个交点，又因为f′(x)=−x2+x+2，则令f′(x)>0，解得−1<x<2；令f′(x)<0，解得x>2或x<−1，所以函数f(x)在[−2，−1)，(2，4]上单调递减，在(−1，2)上单调递增；又因为f(−1)=−16， f(2)=133，f(−2)=53， f(4)=−133，函数图象如下所示：若使函数f(x)=−13x3+12x2+2x+1与直线y=m有三个交点，则需使−16<m⩽53，即m∈(−16，53]．

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