题目

如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C ， OB＝OC＝3． （1） 求该抛物线的函数解析式； （2） 如图1，连接BC ， 点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD ， CD ， OD交BC于点F ， 当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标． （3） 如图2，点E的坐标为（0， ），在抛物线上是否存在点P ， 使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： 解：∵OB=OC=3， ∴点C的坐标为C(0，3)，c=3，点B的坐标为B(3，0)， 将点B的坐标代入抛物线表达式：y=ax2+2x+3，解得：a=﹣1， 故抛物线的表达式为：y=﹣x2+2x+3； 解：如图，过点D作DH⊥x轴于点H，交BC于点M， ∵S△COF：S△CDF=3：2， ∴OF：FD=3：2， ∵DH∥CO， ∴CO：DM= OF：FD=3：2， ∴DM= 23 CO=2， 设直线BC的表达式为： y=kx+b ， 将C(0，3)，B(3，0)代入得 {b=33k+b=0 ， 解得： {k=−1b=3 ， ∴直线BC的表达式为：y=﹣x+3， 设点D的坐标为(x，﹣x2+2x+3)，则点M(x，﹣x+3)， ∴DM= ﹣x2+2x+3﹣(﹣x+3) =2， 解得：x=1或2， 故点D的坐标为：(1，4)或(2，3)； 解：①当点P在x轴上方时， 取OG=OE，连接BG，过点B作直线PB交抛物线于点P，交y轴于点M，使∠GBM=∠GBO， 则∠OBP=2∠OBE，过点G作GH⊥BM，如图， ∵点E的坐标为(0， −32 )， ∴OE= 32 ， ∵∠GBM=∠GBO，GH⊥BM，GO⊥OB， ∴GH= GO=OE= 32 ，BH=BO=3， 设MH=x，则MG= x2+(32)2=x2+94 ， 在△OBM中，OB2+OM2=MB2，即 32+(32+x2+94)2=(x+3)2 ， 解得：x=2， 故MG= x2+94 = 52 ，则OM=MG+ GO= 52 + 32=4 ， 点M的坐标为(0，4)， 设直线BM的表达式为： y=kx+b ， 将点B(3，0)、M(0，4)代入得： {3k+b=0b=4 ， 解得： {k=−43b=4 ， ∴直线BM的表达式为：y= −43 x+4， 解方程组 {y=﹣x2+2x+3y=−43x+4 解得：x=3(舍去)或 13 ， 将x= 13 代入 y= −43 x+4得y= 329 ， 故点P的坐标为( 13 ， 329 )； ②当点P在x轴下方时，如图，过点E作EN⊥BP，直线PB交y轴于点M， ∵∠OBP=2∠OBE， ∴BE是∠OBP的平分线， ∴EN= OE= 32 ，BN=OB=3， 设MN=x，则ME= MN2+EN2=x2+(32)2 ， 在 Rt △OBM中，OB2+OM2=MB2，即 32+(32+x2+94)2=(x+3)2 ， 解得： x=2 ， ∴ ME=x2+(32)2=52 ，则OM=ME+ EO= 52 + 32=4 ， 点M的坐标为(0，-4)， 设直线BM的表达式为： y=kx+b ， 将点B(3，0)、M(0，-4)代入得： {3k+b=0b=−4 ， 解得： {k=43b=−4 ， ∴直线BM的表达式为： y=43x−4 ， 解方程组 {y=﹣x2+2x+3y=43x−4 解得：x=3(舍去)或 −73 ， 将x= −73 代入 y=43x−4 得 y=−649 ， 故点P的坐标为( −73 ， −649 )； 综上，点P的坐标为：( 13 ， 329 )或( −73 ， −649 ) ．

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