题目

已知函数 ，其中 . （1） 讨论函数 的单调性； （2） 当 时，若 满足 ，证明： . 答案： 解：函数 f(x) 的定义域为 (0，+∞) ， f′(x)=2ax−1x . ①当 a≤0 时，则当 x∈(0，+∞) 时， f′(x)≤0 恒成立 ∴f(x) 在 (0，+∞) 上单调递减，无单调递增区间； ②当 a>0 时，则由 f′(x)=0 得 x=12a ∴ 当 x∈(0，12a) 时， f′(x)<0 ； 当 x∈(12a，+∞) 时， f′(x)>0 . ∴f(x) 在 (0，12a) 上单调递减，在 (12a，+∞) 上单调递增， 综上所述，当 a≤0 时， f(x) 在 (0，+∞) 上单调递减，无单调递增区间； 当 a>0 时， f(x) 在 (0，12a) 上单调递减，在 (12a，+∞) 上单调递增. f(x)=2ax−lnx ， x>0 . ∵x1，x2(0<x1<x2) 满足 f(x1)=f(x2) ， ∴2ax1−lnx1=2ax2−lnx2 ， 即 lnx1−lnx2x1−x2=2a 欲证 f(2ax1)+f(2ax2)>4a2(x1+x2) ， 即证 ln(2ax1)+ln(2ax2)<0 ， 即证 x1x2<14a2 ，又 a>0 ， 0<x1<x2 ，即证 x1x2<12a 亦证 x1x2<x1−x2lnx1−lnx2 即 lnx1x2−x1−x2x1x2>0 即证 2lnx1x2+x2x1−x1x2>0 ∵0<x1<x2 设 x1x2=t(0<t<1) ，即证 2lnt+1t−t>0 . 设 h(t)=2lnt+1t−t(0<t<1) . ∵h′(t)=2t−1t2−1=−(t−1)2t2<0 在 t∈(0，1) 上恒成立， ∴h(t) 在 (0，1) 上单调递减， ∴h(t)>h(1)=0 . ∴2lnt+1t−t>0 . 即 f(2ax1)+f(2ax2)>4a2(x1+x2) 成立

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