题目

正方形ABCD中，E为AD的中点，以E为顶点作∠BEF=∠EBC，EF交CD于点F。 （1） 求tan∠BEF； （2） 求DF：CF的值。 答案： 解：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠AEB=∠EBC 在Rt∆AEB中 tan∠AEB=ABAE ∵E为AD的中点 ∴AE=12AD=12AB tan∠AEB=ABAE=AB12AB=2 又∵∠BEF=∠EBC ∴∠BEF=∠AEB ∴tan∠BEF=2. 解：作BH⊥EF于点H，连接BF 由（1）知∠BEF=∠AEB， 在△BAE和△BHE中， ∠BAE=∠BHE， ∠AEB=∠BEH， BE=BE， ∴∆BAE≅∆BHE（AAS）， ∴AB=BH， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=AB=BH， 在Rt△BHF和Rt△BCF中， BF=BF BH=BC Rt∆BHF≅Rt∆BCF（HL） ∴CF=HF 设AB=2x，则AE=EH=ED=x； 设CF=HF=y，则DF=2x-y，EF=x+y 在Rt△EDF中，根据勾股定理得， EF2=ED2+DF2 即（x+y）2=x2+（2x-y）2 解得y=23x DF：CF=（2x-y）：y =（2x-23x）：23x =2

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