题目

已知函数 ． （Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）当 时， （ⅰ）求 的单调区间； （ⅱ）若 在区间 内单调递减，求 的取值范围． 答案：解：（Ⅰ）当 k≠0 时， f(x)=1x2=x−2 ， f′(x)=−2x−3=−2x3 所以 f′(−1)=2 f(−1)=1   所以曲线 y=f(x) 在点 (−1,f(−1)) 处的切线方程为 y−f(−1)=f(−1)[x−(−1)] 即 2x−y+3=0 ； （Ⅱ） k≠0 时， （ⅰ）函数 f(x)=ekxx2 ，定义域为 {x|x≠0} ， 所以 f′(x)=kekx⋅x2−ekx⋅2xx4=ekx(kx2−2x)x4 ，令 f′(x)=0 ，得 x=2k ① k>0 时，在 (−∞,0) 和 (2k,+∞) ， f′(x)>0 ；在 (0,2k) ， f′(x)<0 ． ②所以 f(x) 的单调递增区间为 (−∞,0) 和 (2k,+∞) ，单调递减区间为 (0,2k) ； ③当 k<0 时，在 (2k,0) ， f′(x)>0 ；在 (−∞,2k) 和 (0,+∞) ， f′(x)<0 ． 所以 f(x) 的单调递增区间为 (2k,0) ，单调递减区间为 (−∞,2k) 和 (0,+∞) ； （ⅱ）由 f(x) 在区间 (0,1) 内单调递减， ① k>0 时， (0,1)⊆(0,2k) ，有 2k≥1 ，所以 0<k≤2 ； ②当 k<0 时， f(x) 在 (0,+∞) 递减，符合题意 综上 k 的取值范围是 (−∞,0)∪(0,2]

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