题目

已知 为坐标原点，抛物线 与直线 相交于 两点. （1） 求： 的值； （2） 当 的面积等于 时，求实数 的值. 答案： 解：显然直线的斜率存在且 k≠0 ， 联立 {y2=−xy=k(x+1) ，消去 x ，得 ky2+y−k=0 . 如图，设 A(x1,y1),B(x2,y2) ，则 x1≠0,x2≠0 ， 由根与系数的关系可得 y1+y2=−1k ， y1⋅y2=−1 ， 因为 A,B 在抛物线 y2=−x 上， 所以 y12=−x1,y22=−x2,y12⋅y22=x1x2 . 因为 kOA⋅kOB=y1x1⋅y2x2=y1y2x1x2=1y1y2=−1 ， 所以 OA⊥OB . 所以 OA→⋅OB→=0 解：设直线 y=k(x+1) 与 x 轴交于点 N ， 令 y=0 ，则 x=−1 ，即 N(−1,0) . 因为 SΔOAB=SΔOAN+SΔOBN=12ON⋅|y1|+12ON⋅|y2|=12ON⋅|y1−y2| =12×1×(y1+y2)2−4y1y2=12(−1k)2+4 ， 所以 121k2+4=5 ， 解得 k=±14 .

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