题目

已知函数．(1)若，求函数的所有零点；(2)若，证明函数不存在极值． 答案：【答案】(1) (2)见证明【解析】（1）首先将代入函数解析式，求出函数的定义域，之后对函数求导，再对导函数求导，得到（当且仅当时取等号），从而得到函数在单调递增，至多有一个零点，因为，是函数唯一的零点，从而求得结果；（2）根据函数不存在极值的条件为函数在定义域上是单调函数，结合题中所给的参数的取值范围，得到在上单调递增，从而证得结果.（1）解：当 时，，函数的定义域为， 且．设，则 ． 当时，；当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，（当且仅当时取等号）．即当时，（当且仅当时取等号）．所以函数在单调递增，至多有一个零点. 因为，是函数唯一的零点.所以若，则函数的所有零点只有． （2）证法1：因为，函数的定义域为，且． 当时，， 由（1）知．即当时，所以在上单调递增． 所以不存在极值．证法2：因为，函数的定义域为 ，且． 设，则 ．设 ，则与同号．当 时，由， 解得，． 可知当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增． 由（1）知．则．所以，即在定义域上单调递增． 所以不存在极值．

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