题目

如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F． （1） 当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则 的值为　    　； （2） 在（1）的基础上，现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求 的值； （3） 若与（2）相比只有如下变化，点P在线段AC上，且AP:PC=1:2,旋转角度α，满足60°＜α＜90°时，即如图3示， 的值是否变化？证明你的结论． 答案： 3 解：如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN， ∵PM⊥PN，PE⊥PF， ∴∠EPM=∠FPN， 又∵∠PME=∠PNF=90°， ∴△PME∽△PNF PEPF = PMPN 由(1)知 PMPN=3 ∴ PEPF=3 故答案为： 3 . 解：变化，理由如下： 证明：如答图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB， ∵PM∥BC，PN∥AB， ∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN， ∴△APM∽△PCN， PMCN=APPC=12 ，得到CN=2PM 在Rt△PCN中， PNCN=PN2PM=tan30∘=33 ∴ PMPN=32 ∵PM⊥PN，PE⊥PF， ∴∠EPM=∠FPN， 又∵∠PME=∠PNF=90°， ∴△PME∽△PNF， ∴ PEPF=PMPN=32 ∴ PEPF 的值发生变化.

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