题目

在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ，直线 与 ， 轴的交点分别为 ， ． （1） 求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程； （2） 点 在曲线 上，求 的面积的最大值． 答案： 解：由 {x=1+cosα，y=sinα （ α 为参数）得 (x−1)2+y2=1 ，即为曲线 C 的普通方程； 由 ρ(2cos2θ2−sinθ−1)=2 得 ρ(cosθ−sinθ)=2 ， 由 {x=ρcosθ，y=ρsinθ， 得直线 l 的直角坐标方程为 x−y=2 ． 解：由（1）知直线 l 的直角坐标方程为 x−y=2 ， 所以 A(2，0) ， B(0，−2) ， 所以 |AB|=22 ， 设 M(1+cosα，sinα) ， 则点 M 到直线 AB 的距离为 d=|1+cosα−sinα−2|2=|2cos(α+π4)−1|2 ． 当 cos(α+π4)=−1 即 α=3π4 时， d 取得最大值 2+12=1+22 ， 故此时 △MAB 的面积取得最大值，且最大值为 12|AB|⋅d=12×22×(1+22)=2+1 ．

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