题目

抛物线 与 轴交于A(4，0)，B(6，0)两点，与 轴交于点C(0，3). （1） 求抛物线的解析式； （2） 点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0<t<3）. ①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，△PDE的面积最大，并求出这个最大值； ②当t =2时，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请你求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： 解: 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) 与 x 轴交于A(4，0)，B(6，0)两点，与 y 轴交于点C(0，3)，则有 {16a+4b+c=036a+6b+c=0c=3  ，解得： {a=18b=−54c=3   ， 所以抛物线的解析式为： y=18x2−54x+3 解: ①依题意知：点E的坐标为E（0，t）， 又由点 B(6,0) ，C（0，3）易知：直线BC的解析式为yBC=- 12 x+3， ∵过点E的直线与 x 轴平行交直线BC于点D， ∴点D的纵坐标为t， ∴当- 12 x+3=t时， x=6−2t ， ∴点D的坐标为（ 6−2t ， t ）， ∵ ED//x轴 ， ∴ SΔPDE=SΔDEO=12(6−2t)•t ， ∴ SΔPDE=12(6−2t)•t=−t2+3t ， ∴S△PDE= −t2+3t （ 0<t<3 ）， ∵a=−1<0 ，∴ ΔPDE 的面积有最大值， ∴当 t=32 时，满足 0<t<3 ， ∴ ΔPDE 的面积的最大值为 94 ； ②存在点F，使 ΔEFP 为直角三角形； 理由如下： 当 t=2 时，则有：P（4，0） ， E(0,2) ； 又易知抛物线的对称轴为：直线 x=5 ， ∵点F在直线 x=5 上， ∴当 ΔEFP 为直角三角形时，直角顶点不可能在F处； 则应分两种情况： 设F的坐标为（5，m）, ∵ P(4,0)  ， E(0,2) ， ∴ FP2=(5−4)2+(m−0)2 ， FE2=(5−0)2+(m−2)2 ， PE2=(4−0)2+(0−2)2 ， 当直角顶点在E处时， EF2+EP2=FP2 ，此时可求出 m=12 ， 当直角顶点在P处时， PF2+EP2=EF2 ，此时可求出 m=2 ， ∴F的坐标为（5，12）或（5，2）.

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