题目

已知椭圆的左焦点 ， 右顶点 ． （1） 求的方程 （2） 设为上一点（异于左、右顶点），为线段的中点，为坐标原点，直线与直线交于点 ， 求证： ． 答案： 解：设椭圆C的半焦距为c(c>0)．因为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F(−2，0)，右顶点A(3，0)，所以a=3，c=2．所以b2=a2−c2=5，C的方程为：x29+y25=1； 证明：设点B(x0，y0)(x0>0，y0>0)，且x029+y025=1，因为M为线段AB的中点，所以M(x0+32，y02)，所以直线OM的方程为：y=y0x0+3x，令x=−92，得y=−9y02(x0+3)，所以点N(−92，−9y02(x0+3))，此时，NF→=(52，9y02(x0+3))，AB→=(x0−3，y0)，所以AB→⋅NF→=52(x0−3)+9y022(x0+3)=52(x0−3)+5(9−x02)2(x0+3)=52(x0−3)+52(3−x0)=0，所以AB→⊥NF→，所以AB⊥NF．

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