题目

如图1，在△ABC中，AE⊥BC于，AE=BE，D是AE上的一点，且DE=CE，连接BD、AC．（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，仍然有DE⊥EC，DE=CE，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；（3）如图3，若将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变： ①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由； ②你能求出BD与AC所成的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由．答案：解：BD＝AC，BD⊥AC，理由是：延长BD交AC于F， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝∠AEC＝90°，在△BED和△AEC中 {BE＝AE∠BED＝∠AECDE＝EC ∴△BED≌△AEC， ∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE， ∵∠BED＝90°， ∴∠EBD＋∠BDE＝90°， ∵∠BDE＝∠ADF， ∴∠ADF＋∠CAE＝90°， ∴∠AFD＝180°−90°＝90°， ∴BD⊥AC；解：不发生变化，理由是： ∵∠BEA＝∠DEC＝90°， ∴∠BEA＋∠AED＝∠DEC＋∠AED， ∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中 {BE＝AE∠BED＝∠AECDE＝EC ∴△BED≌△AEC， ∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE， ∵∠DEC＝90°， ∴∠ACE＋∠EOC＝90°， ∵∠EOC＝∠DOF， ∴∠BDE＋∠DOF＝90°， ∴∠DFO＝180°−90°＝90°， ∴BD⊥AC；解：①BD与AC的数量关系是：BD=AC ∵∠BEA=∠DEC=90°, ∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED , ∴ ∠BED=∠AEC, 在△BED和△AEC中， {BE=AE∠BED=∠AECDE=EC BE=AE ∠BED=∠AEC DE=EC ∴△BED≌△AEC ( SAS) , ∴BD=AC , ②能，理由是： ∵△ABE和△DEC是等边三角形， ∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°， ∴∠BEA＋∠AED＝∠DEC＋∠AED， ∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中 {BE＝AE∠BED＝∠AECDE＝EC ∴△BED≌△AEC， ∴∠BDE＝∠ACE， ∴∠DFC＝180°−（∠BDE＋∠EDC＋∠DCF）＝180°−（∠ACE＋∠EDC＋∠DCF）＝180°−（60°＋60°）＝60°，即BD与AC所成的角的度数为60°．

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