题目

如图所示，在四棱锥中，底面四边形为正方形，已知平面，， . （1）求与平面所成角的正弦值；（2）在棱上存在一点，使得平面平面，求的值. 答案：以 A 为原点， AB 为 x 轴， AD 为 y 轴， AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则 P(0，0，2) ， C(2，2，0) ， B(2，0，0) ， D(0，2，0) ， PC→=(2，2，−2) ， PB→=(2，0，−2) ， PD→=(0，2，−2) ，设平面 PBD 的法向量 n→=(x，y，z) ，则 {n→⋅PB⇀=2x−2z=0n→⋅PD⇀=2y−2z=0 ，取 x=1 ，得 n→=(1，1，2) ，设 PC 与平面 PBD 所成角为 θ ，则 sinθ=|PC→⋅n→||PC→|⋅|n→|=210⋅4=1010 . ∴ PC 与平面 PBD 所成角的正弦值为 1010 . 设在棱 PC 上存在一点 E(a，b，c) ， PEPC=λ ， (0⩽λ⩽1) ，使得平面 BDE⊥ 平面 BDP ，则 (a，b，c−2)=(2λ，2λ，−2λ) ，∴ E(2λ，2λ，2−2λ) ， BD→=(−2，2，0) ， BE→=(2λ−2，2λ，2−2λ) ，设平面 BDE 的法向量 m→=(x，y，z) ，则 {m→⋅BD⇀=−2x+2y=0m→⋅BE⇀=(2λ−2)x+2λy+(2−2λ)z=0 ，取 x=1 ，得 m→=(1，1，4λ−22λ−2) ， ∵平面 BDE⊥ 平面 BDP ， ∴ m→⋅n→=2+4λ−2λ−1=0 ，解得 λ=23 . ∴棱 PC 上存在一点 E ，使得平面 BDE⊥ 平面 BDP ，且 PEPC=23 .

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