题目

已知三次函数f（x）=x3+bx2+cx+d（a，b，c∈R）过点（3，0），且函数f（x）在点（0，f（0））处的切线恰好是直线y=0． （1） 求函数f（x）的解析式； （2） 设函数g（x）=9x+m﹣1，若函数y=f（x）﹣g（x）在区间[﹣2，1]上有两个零点，求实数m的取值范围． 答案： 解：f′（x）=3x2+2bx+c，由已知条件得： ，解得b=﹣3，c=d=0；∴f（x）=x3﹣3x2 解：由已知条件得：f（x）﹣g（x）=0在[﹣2，1]上有两个不同的解； 即x3﹣3x2﹣9x﹣m+1=0在区间[﹣2，1]有两个不同的解；即m=x3﹣3x2﹣9x+1在[﹣2，1]上有两个不同解．令h（x）=x3﹣3x2﹣9x+1，h′（x）=3x2﹣6x﹣9，x∈[﹣2，1]；解3x2﹣6x﹣9＞0得：﹣2≤x＜﹣1；解3x2﹣6x﹣9＜0得：﹣1＜x≤1；∴h（x）max=h（﹣1）=6，又f（﹣2）=﹣1，f（1）=﹣10，∴h（x）min=﹣10；m=h（x）在区间[﹣2，1]上有两个不同的解，∴﹣1≤m＜6．∴实数m的取值范围是[﹣1，6）

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