题目

如图， 中， ， ，点 在 上，过点 作 的垂线 ，在直线 与线段 上分别取点 ， ，使得 ，且点 ， ， 在直线 同侧，连接 ， ． （1） 依题意补全图形； （2） 用等式表示 与 的数量关系，并证明； （3） 过点 作 于点 ，用等式表示线段 ， ， 的数量关系，并证明． 答案： 解：根据题意补全图形如下图所示： 解： ∠EDF=12∠CAD ，理由如下： ∵ AE⊥AD ， ∠BAC=90° ， ∴ ∠EAD=∠BAC=90° ， ∴ ∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=90° ， ∴ ∠EAB=∠DAC ， ∵ ∠EAD=90° ， AE=AD ， ∴ ∠AED=∠ADE=45° ， ∵ AB=AC ， ∠BAC=90° ， ∴ ∠B=∠C=45° ， ∵ ∠AOE=∠DOB ， ∠AED=∠B ， ∴ ∠EAB=∠EDB ， 又∵ ∠EAB=∠DAC ， ∴ ∠EDB=∠DAC ， ∵ AF=AD ， ∴ ∠AFD=∠ADF ， ∴ ∠B+∠BDF=∠ADE+∠EDF ， ∴ 45°+∠BDF=45°+∠EDF ， ∴ ∠BDF=∠EDF=12∠EDB ， 又∵ ∠EDB=∠DAC ， ∴ ∠EDF=12∠CAD ； 解： DE+2FG=BC ，理由如下： 如图，过点F作FH⊥BC于点H， ∵ ∠BDF=∠EDF=12∠EDB ， ∴DF平分∠EDB， 又∵FH⊥BC， FG⊥DE ， ∴ FG=FH ， ∠FHB=90° ， ∵ ∠B=45° ， ∠FHB=90° ， ∴ ∠BFH=∠B=45° ， 在等腰 Rt△BFH 中， sin∠B=FHBF ， ∴ sin45°=FHBF=22 ， ∴ FG=FH=22BF ， 同理可得： AF=AE=22DE ， AB=22BC ， ∵ AF+BF=AB ， ∴ 22DE+2FG=22BC ， 即： DE+2FG=BC ．

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