题目

已知函数 ，且 . （1） 求 的值； （2） 判断函数 的奇偶性并证明； （3） 判断 在 上的单调性并加以证明. 答案： 解：由已知有 f(1)=1+a=2 ，解得 a=1 ，所以 a 的值为1. 解： f(x)是 奇函数，证明如下： 函数 f(x)=x+1x 的定义域为 {x|x≠0} , ∵f(−x)=−x−1x=−(x+1x)=−f(x) ∴f(x) 是奇函数. 解： f(x) 在 (1，+∞) 上是增函数，证明如下： 任取两数 x1,x2∈(1,+∞), 且 x1<x2 ,则 x1−x2<0 f(x1)−f(x2)=x1+1x1−(x2+1x2)=(x1−x2)+(1x1−1x2)=(x1−x2)+x2−x1x1x2 =(x1−x2)(1−1x1x2)=(x1−x2)(x1x2−1)x1x2 ， ∵x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2 , ∴x1−x2<0,x1x2>1 ，即 x1x2−1>0 ， ∴f(x1)−f(x2)<0 ，即 f(x1)<f(x2) ， ∴f(x) 在 (1，+∞) 上是增函数

查看本题答案和解析