题目

已知数列 是等比数列， ，公比是 的展开式的第二项（按 的降幂排列）. （1） 求数列 的通项 ； （2） 求数列 前 项和 ； （3） 若 ，求 . 答案： 解： (x+14x2)4 的展开式的第二项为 T2=C41⋅x3⋅14x2=x ， 所以，数列 {an} 的公比为 x ，则 an=a1⋅xn−1=xn−1 ； 解：当 x=1 时，则 an=1 ， Sn=n ； 当 x≠1 时， Sn=a1(1−xn)1−x=1−xn1−x . 综上所述， Sn={n,x=11−xn1−x,x≠1 ； 解：当 x=1 时， Sn=n ， ∵CnkSk=kCnk=k⋅n!k!(n−k)!=n⋅(n−1)!(k−1)!(n−k)!=nCn−1k−1 ， 此时， An=Cn1S1+Cn2S2+⋅⋅⋅+CnnSn=n(Cn−10+Cn−11+⋯+Cn−1n−1)=n⋅2n−1 ； 当 x≠1 时， ∵Cn1⋅(1−x)+Cn2⋅(1−x2)+⋯+Cnn⋅(1−xn)=(Cn0+Cn1+Cn2+⋯+Cnn)−(Cn0+Cn1x+Cn2x2+⋯+Cnnxn) =2n−(x+1)n ， 此时， An=Cn1S1+Cn2S2+⋅⋅⋅+CnnSn=2n−(x+1)n1−x . 综上所述， An={n⋅2n−1,x=12n−(x+1)n1−x,x≠1 .

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