题目

已知：半圆O的直径AB＝6，点C在半圆O上，且tan∠ABC＝2 ， 点D为弧AC上一点，联结DC（如图） （1） 求BC的长； （2） 若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长； （3） 联结OD，当ODBC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长． 答案： 解：如图1中，连接AC， ∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵tan∠ABC＝22，∴可以假设AC＝22k，BC＝k，∵AB＝6，AB2＝AC2+BC2，∴36＝8k2+k2，∴k2＝4，∵k＞0，∴k＝2，BC＝2． 解：如图2中， ∵△MBC与△MOC相似，∴∠MBC＝∠MCO，∵∠MBC+∠OBC＝180°，∠MCO+∠OCD＝180°，∴∠OBC＝∠OCD，∵OB＝OC＝OD，∴∠OBC＝∠OCB＝∠OCD＝∠ODC，在△OBC和△OCD中，{∠OBC=∠OCD∠OCB=∠ODCOB=OC，∴△OBC≌△OCD，∴BC＝CD＝2． 解：如图3中，延长ON交BC的延长线于G，作GH⊥OB于H． ∵BC∥OD，∴∠DOG＝∠OGB＝∠GOB，∴BO＝BG＝3，∵tan∠HBG＝GHHB=22，设GH＝22a，HB＝a，∵BG2＝GH2+HB2，∴8a2+a2＝9，∴a2＝1，∵a＞0，∴a＝1，HB＝1，GH＝22，OH＝2，OG＝OH2+HG2＝23，∵GC∥DO，∴GNON=CGOD=13，∴ON＝34×23=332．

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