题目

如图，已知三棱柱 的底面是边长为2的正三角形，侧面 为菱形， 为其两对角线的交点， ， ， ， 分别为 ， 的中点，顶点 在底面 的射影 为底面中心． （1） 求证： 平面 ，且 平面 ； （2） 求三棱锥 的体积． 答案： 证明：如图所示： 取 AA1 的中点 F ，连接 DF ， EF ， 因为 E 为的中点， 所以 EF//AB ，又 AB⊂ 平面 ABC1 ， EF⊄ 平面 ABC1 ， 所以 EF// 平面 ABC1 ； 同理 DF// 平面 ABC1 ， 又 DF∩EF=F ， 所以平面 DEF// 平面 ABC1 ， 又 DE⊂ 平面 DEF ， 所以 DE// 平面 ABC1 . 因为侧面 BCC1B1 为菱形， BB1=CC1=B1C1=BC=2,B1C⊥BC1 ， 所以 BC1=23 ， BG=3 ，则 B1G=BB1−BC12=1 ， B1C=2B1G=2 ， 又 A1C=22 ， 所以在 △A1B1C 中， A1C2=A1B12+B1C2 ， 所以 A1B1⊥B1C ，因为 A1B1//AB ， 所以 B1C⊥AB ， 又 B1C⊥BC1 ，且 AB∩BC1=B ， 所以 B1C⊥ 平面 ABC1 解：由（1）知 B1C⊥ 平面 ABC1 ，所以 B1C 是三棱锥的高， 又 AA12+AB2=A1C2 ，则 AA1⊥AC ， 所以平行四边形 A1ACC1 是矩形， 所以 A1C=AC1=22 ， 则 AC12+AB2=BC12 ， 则 AB⊥AC1 ， 所以 V=13S△ABC1B1C=13×12×2×22×2=423

查看本题答案和解析