题目

在△ABC中，D为BC边上一点．（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿着AD折叠，点C落在AB边上．请用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图②，将△ABC沿着过点D的直线折叠，点C落在AB边上的E处．①若DE⊥AB，垂足为E，请用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；②若AB=4 ，BC=6，∠B=45°，则CD的取值范围是．答案：解：点D如图所示．（作∠CAB的角平分线即可）【1】解：①点D如图所示．（过点C作CE⊥BC，交BA的延长线于E，作∠CEB的角平分线即可）②如图②中，设CD=DE=x，则DE=EB=x，∠DEB=90°，DB= 2 x，∵BC=6，∴x+ 2 x=6，∴x=6 2 ﹣6，如图③中，当E与A重合时，作AH⊥CB于H，设CD=DE=x，在Rt△AHB中，易知AH=HB=4，∠AHB=90°，HD=x﹣2，DE=x，∴x2=42+（x﹣2）2，∴x=5，综上可知，CD的最大值为5，最小值为6 2 ﹣6，∴6 2 ﹣6≤CD≤5，故答案为6 2 ﹣6≤CD≤5

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