题目

问题探究： （1） 如图①所示是一个半径为 ，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，AB是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B点，求蚂蚁爬行的最短路程．（探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形 则蚂蚁爬行的最短路程即为线段 的长） （2） 如图②所示是一个底面半径为 ，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，PA是它的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点，求蚂蚁爬行的最短路程． （3） 如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程． 答案： 解：由题意可知： BB′=2π×32π=3 在 Rt△ABB' 中， AB′=AB2+BB′2=42+32=5 即蚂蚁爬行的最短路程为5． 解：连结 AA′， 则 AA′ 的长为蚂蚁爬行的最短路程，设 r1 为圆锥底面半径， r2 为侧面展开图（扇形）的半径， 则 r1=23，r2=4， 由题意得： 2πr1=nπr2180 即 2×π×23=n180×π×4 ∴n=60 ∴△PAA′ 是等边三角形 ∴ 最短路程为 AA′=PA=4． 解：如图③所示是圆锥的侧面展开图，过 A 作 AC⊥PA′ 于点 C， 则线段 AC 的长就是蚂蚁爬行的最短路程． 在Rt△ACP中， ∵∠P=60°， ∴∠PAC=30° ∴PC= 12 PA= 12 ×4=2 ∴AC= 42−22 = 23 ∴ 蚂蚁爬行的最短距离为 23．

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