题目

如图 如图1，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝AC＝EF＝2，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，DE，DF或它们的延长线分别交BC（或它的延长线）于G，H点，设旋转角为α（0°＜α＜90°）． （1） 问题发现：当0°＜α＜45°时，如图2，可得∠H＝45°﹣∠CAH＝∠GAC．这时与△AGC相似的三角形有及； （2） 类比探究：当45°＜α＜90°时，如图3，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请选取一种情况说明理由； （3） 问题解决：当△AGH是等腰三角形时，直接写出CG的长． 答案： 【1】△HAB【2】△HGA 解：成立， ∵∠BHA＝∠C+∠CAH＝45°+∠CAH ∠GAC＝∠GAH+∠CAH＝45°+∠CAH ∴∠BHA＝∠GAC  又∵∠B＝∠C ∴△AGC∽△HAB ∵∠ACG＝∠HAG＝45°，∠AGC＝∠HGA， ∴△AGC∽△HGA 解：由（1）知，∠GAH＝45°， ∵△AGH是等腰三角形， ①当∠GAH＝45°是等腰三角形的底角时， Ⅰ、∠AHG＝90°， ∴AH⊥BC，此时点G’和点B重合， 即：α＝90°，不符合题意，舍去， Ⅱ、∠AGH＝90°， ∴AG⊥BC， ∴BG＝CG， ∵AB＝AC＝2， ∴BC＝2 2 ， ∴CG＝ 2 ②当∠GAH＝45°是等腰三角形的顶角时， ∴∠AHG＝∠AGH＝ 12 （180°﹣45°）＝67.5°， ∵∠C＝45°， ∴∠CAG＝67.5°＝∠AGH， ∴CG＝AC＝2 即：当△AGH是等腰三角形时，CG的长为 2 或2

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