题目

已知椭圆 ： 过点 ，过坐标原点 作两条互相垂直的射线与椭圆 分别交于 ， 两点. （1） 证明：当 取得最小值时，椭圆 的离心率为 . （2） 若椭圆 的焦距为2，是否存在定圆与直线 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由. 答案： 证明：∵椭圆 C 经过点 (1,32) ，∴ 1a2+94b2=1 ， ∴ a2+9b2=(1a2+94b2)(a2+9b2)=854+9b2a2+9a24b2 ≥854+29b2a2⋅9a24b2=1214 ， 当且仅当 9b2a2=9a24b2 ，即 a2=2b2 时，等号成立， 此时椭圆 C 的离心率 e=1−b2a2=22 . 解：∵椭圆 C 的焦距为2，∴ a2−b2=1 ，又 1a2+94b2=1 ，∴ a2=4 ， b2=3 . 当直线 MN 的斜率不存在时，由对称性，设 M(x0,x0) ， N(x0,−x0) . ∵ M ， N 在椭圆 C 上，∴ x024+x023=1 ，∴ x02=127 ，∴ O 到直线 MN 的距离 d=|x0|=127=2217 . 当直线 MN 的斜率存在时，设 MN 的方程为 y=kx+m . 由 {y=kx+mx24+y23=1 ，得 (3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0 ， Δ=(8km)2−4(3+4k2)(4m2−12)>0 . 设 M(x1,y1) ， N(x2,y2) ，则 x1+x2=−8km3+4k2 ， x1x2=4m2−123+4k2 . ∵ OM⊥ON ，∴ x1x2+y1y2=0 ， ∴ x1x2+(kx1+m)(kx2+m) =(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0 ， ∴ (k2+1)⋅4m2−123+4k2−8k2m23+4k2+m2=0 ，即 7m2=12(k2+1) ， ∴ O 到直线 MN 的距离 d=|m|1+k2=127=2217 . 综上， O 到直线 MN 的距离为定值，且定值为 2217 ，故存在定圆 O ： x2+y2=127 ，使得圆 O 与直线 MN 总相切.

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