题目

已知函数 . （1） 若曲线 在点 处切线的斜率为1，求 的单调区间； （2） 若不等式 对 恒成立，求 的取值范围. 答案： 解： f′(x)=aeax−1 ，则 f′(0)=a−1=1 ，即 a=2 . ∴ f′(x)=2e2x−1 ，令 f′(x)=0 ，得 x=−ln22 . 当 x<−ln22 时， f′(x)<0 ；当 x>−ln22 时， f′(x)>0 . 故 f(x) 的单调递减区间为 (−∞,−ln22) ，单调递增区间为 (−ln22,+∞) 解：由 f(x)≥eaxlnx−ax2 ，即 ax2−x≥eax(lnx−1) ，有 ax−1eax≥lnx−1x ，故仅需 lneax−1eax≥lnx−1x 即可. 设函数 g(x)=lnx−1x ，则 lneax−1eax≥lnx−1x 等价于 g(eax)≥g(x) . ∵ g′(x)=2−lnxx2 ， ∴当 x∈(0,e] 时， g′(x)>0 ，则 g(x) 在 (0,e] 上单调递增， ∴当 x∈(0,e] 时， g(eax)≥g(x) 等价于当 x∈(0,e] 时， g(eax)≥g(x) ， eax≥x ，即 a≥lnxx 恒成立. 设函数 h(x)=lnxx ， x∈(0,e] ，则 h′(x)=1−lnxx2≥0 ，即 h(x) 在 x∈(0,e] 递增，所以 h(x)max=h(e)=1e ，则 a≥1e 即可， ∴ a 的取值范围为 [1e,+∞)

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