题目

如图在水平轨道右侧固定半径为R的竖直圆槽形光滑轨道，水平轨道PQ段铺设特殊材料，调节其初始长度为l，水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然伸长状态．可视为质点的小物块从轨道右侧A点以初速度v0冲上轨道，通过圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧，并被弹簧以原速率弹回．已知R＝0.4 m，l＝2.5 m，v0＝6 m/s，物块质量m＝1 kg，与PQ段间的动摩擦因数μ＝0.4，轨道其它部分摩擦不计．取g＝10 m/s2 ． 求： （1） 物块经过圆轨道最高点B时对轨道的压力大小； （2） 物块从Q运动到P的时间及弹簧获得的最大弹性势能； （3） 物块仍以v0从右侧冲上轨道，调节PQ段的长度l，当l长度是多少时，物块恰能不脱离轨道返回A点继续向右运动． 答案： 解：物块冲上圆形轨道最高点B时速度为v，由机械能守恒得 12mv02=12mv2+2mgR   ① 物块到B点，由牛顿运动定律得 N+mg=mv2R   ② 联立①②式并代入数据解得N=40N    ③ 由牛顿第三定律，物块对轨道压力大小为40N，方向为竖直向上   ④ 解：物块在Q点时速度为v0＝6 m/s，在PQ运动时，由牛顿运动定律有 μmg=ma ⑤ 由运动规律 l=v0t−12at2   ⑥ 联立⑤⑥式并代入数据解得在PQ段运动时间 t=0.5s ⑦ 设物块在P点时速度为v1，有 −2μgl=v12−v02   ⑧ 由能量守恒，物块压缩弹簧，动能转化为弹性势能，有 Epm=12mv12   ⑨ 联立⑧⑨式代入数据解得Epm = 8J ⑩ 解：物块以v0冲上轨道直到回到PQ段右侧Q点时速度为v2，有 −2μmgl=12mv22−12mv02 要使物块恰能不脱离轨道返回A点，则物块能沿轨道上滑至最高点且在最高点的速度大小为v3，则满足 12mv22=12mv32+2mgR 且 mg=mv32R 代入数据解得l＝1 m

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