题目

设函数 （1） 若函数 在 处与直线 相切,求函数 在 上的最大值。 （2） 当 时,若不等式 对所有的 都成立，求实数 的取值范围。 答案： 解：由题知 f'(x)=ax−2bx∵ 函数 f(x) 在 x=1 处与直线 y=−12 相切∴{f′(1)=a−2b=0f(1)=−b=−12  解得 {a=1b=12 ∴f(x)=lnx−12x2,f′(x)=1x−x=1−x2x当 1e≤x≤e 时，令 f'(x)>0 得 1e<x<1 ；令 f'(x)<0 ，得 1<x<e;∴f(x)在(1e,1] 上单调递增，在[1，e]上单调递减，∴f(x)max=f(1)=−12 解：当 b=0 时， f(x)=alnx若不等式 f(x)≥m+x 对所有的 a∈[0,32],x∈(1,e2] 都成立，则 alnx≥m+x 对所有的 a∈[0,32],x∈(1,e2] 都成立，即 m≤alnx−x 对所有的 a∈[0,32],x∈(1,e2] 都成立，令 h(a)=alnx−x ，则 h(a) 为一次函数， m≤h(a)min∵x∈(1,e2] ∴lnx>0 ∴h(a)在a∈[0,32] 上单调递增∴h(a)min=h(0)=−x∴m≤−x 对所有的 x∈(1,e2] 都成立∵1<x<e2,∴−e2≤−x<−1,∴m≤(−x)min=−e2 ， 即实数m 的取值范围是(−∞，−e2]（注：也可令 h(x)=alnx−x,则m≤h(x) 对所有的 x∈(1,e2] 都成立，分类讨论得m≤h(x)min=2a−e2 对所有的 a∈[0,32] 都成立， ∴m≤(2a−e2)min=−e2 ，酌情给分）

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