题目

已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数． （1） 求k的值； （2） 设g(x)＝log4 ，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围． 答案： 解：由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)， ∴log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx. log4 4x＋14－x＋1 ＝－2kx，即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，∴k＝－ 12 解：函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log4(4x＋1)－ 12 x＝log4 [a•2x－43a] 有且只有一个实根，化简得方程2x＋ 12x ＝a·2x－ 43 a有且只有一个实根．令t＝2x>0，则方程(a－1)t2－ 43 at－1＝0有且只有一个正根．①a＝1、t＝－ 34 ，不合题意；②a≠1时，Δ＝0，a＝ 34 或－3.若a＝ 34 ，t＝－2，不合题意，若a＝－3，t＝ 12 ；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即 −1a−1 <0，a>1.综上，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．

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