题目

某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB=L，称跨度，桥面最高点到AB的距离CD=h称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型，②圆弧型. 已知这座桥的跨度L=32米，拱高h=8米.   （1） 如果设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴， AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式； （2） 如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； （3） 在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度. 答案： 解：抛物线的解析式为y=ax2+c， 又∵抛物线经过点C（0，8）和点B（16，0）， ∴0=256a+8，a=- 132 . ∴抛物线的解析式为y=- 132 x2+8（-16≤x≤16）； 解：设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点， 设⊙O的半径为R， 在Rt△OBD中，OB2=OD2+DB2 ∴R2=（R-8）2+162，解得R=20； 解：①在抛物线型中设点F（x，y）在抛物线上，x=OE=16-4=12， EF=y=3.5米； ②在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′， OH⊥F′E′于H，则OH=D E′=16-4=12，O F′=R=20， 在Rt△OH F′中，H F′=    202−122 ， ∵HE′=OD=OC-CD=20-8=12，E′F′=HF′-HE′=16-12=4（米） ∴在离桥的一端4米处，抛物线型桥墩高3.5米； 圆弧型桥墩高4米.

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