题目

如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1 ， 平面A1AC1C⊥平面ABC，∠ABC=90°.∠BAC=30°，A1A=A1C=AC，E，F分别是AC，A1B1的中点   （1） 证明：EF⊥BC （2） 求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值. 答案： 连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC. 又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E ⊂ 平面A1ACC1， 平面A1ACC1∩平面ABC=AC， 所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC. 又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F. 所以BC⊥平面A1EF. 因此EF⊥BC. 取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形． 由于A1E⊥平面ABC，故AE1⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形． 由（I）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1， 所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上. 连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）. 不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2 3 ，EG= 3 . 由于O为A1G的中点，故 EO=OG=A1G2=152 ， 所以 cos∠EOG=EO2+OG2−EG22EO⋅OG=35 ． 因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是 35 ． 方法二： 连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC. 又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E ⊂ 平面A1ACC1， 平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC. 如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz. 不妨设AC=4，则 A1（0，0，2 3 ），B（ 3 ，1，0）， B1(3,3,23) ， F(32,32,23) ，C(0，2，0). 因此， EF→=(32,32,23) ， BC→=(−3,1,0) ． 由 EF→⋅BC→=0 得 EF⊥BC ．

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