题目

设(e为自然对数的底数)，．(I)记.(i)讨论函数单调性；(ii)证明当时，恒成立(II)令，设函数G(x)有两个零点，求参数a的取值范围. 答案：【答案】（Ⅰ）（i）当时， 单调减；当时， 单调增;（ii）见解析;（Ⅱ）【解析】试题（Ⅰ）(1)由函数求出它的导函数,根据其导函数的正负,即可得到函数单调区间即可.(2)构造函数,对进行讨论，证明其最小值大于0.（Ⅱ）,,通过对分类讨论研究其单调性，得到有两个零点时的范围.试题解析：（Ⅰ）．，所以，当时，，单调减；当时，，单调增． ，令，，， 所以，又，所以时，恒成立，即当时，恒成立． （Ⅱ）由已知，，．当时，，有唯一零点； ②当时，，所以当时，，单调减；当时，，单调增．所以，因，所以当时有唯一零点；当时，，，所以，所以，因为，所以，，且，当，或时，使，取，则，从而可知当时，有唯一零点，即当时，函数有两个零点． ③当时，，由，得，或． 若，即时，，所以是单调减函数，至多有一个零点；若，即时，，注意到，都是增函数，所以当时，，是单调减函数；当时，，是单调增函数；当时，，是单调减函数．，所以至多有一个零点；若，即时，同理可得当时，，是单调减函数；当时，，是单调增函数；当时，，是单调减函数．所以，至多有一个零点．综上，若函数有两个零点，则参数的取值范围是．

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